TOÁN 9 - ÔN THI HSG

THỜI GIAN: 120P

ĐỀ -20-

Câu 1. (5,0 điểm)

a) Cho biểu thức:

.

với  và . Rút gọn biểu thức P và tìm  để .

b) Cho ba số thực dương  thỏa  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

Câu 2. (4,0 điểm)

a) Giải PT .

b) Giải hệ PT

Câu 3. (4,0 điểm)

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương  thỏa mãn đẳng thức:

.

b) Cho hai số nguyên  và  thỏa  CMR chỉ có một số  hoặc  chia hết cho

Câu 4. (2,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC cân tại A và nội tiếp trong đường tròn (O) đường kính AK; lấy điểm I thuộc cung nhỏ AB của đường tròn (O) (I khác A, B). Gọi M là giao điểm của IK và BC, đường trung trực của đoạn thẳng IM cắt AB và AC lần lượt tại D và E. Chứng minh tứ giác ADME là hình bình hành.

Câu 5. (4,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB nội tiếp trong đường tròn (O) và có trực tâm là H. Gọi D, E, F lần lượt là các chân đường cao vẽ từ A, B, C của tam giác ABC.

a) Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng EF và BC, gọi L là giao điểm của đường thẳng AK và đường tròn (O) (L khác A). Chứng minh HL vuông góc với AK.

b) Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC của đường tròn (O) (M khác B, C). Gọi N và P lần lượt là hai điểm đối xứng của điểm M qua hai đường thẳng AB và AC. Chứng minh ba điểm N, H, P thẳng hàng.